橫截面為圓形的直桿受扭時的應(yīng)力，需要綜合研究幾何、物理和靜力等三方面的關(guān)系。以下是我們研究的一個思路。
確定橫截面上切應(yīng)力的方法與過程
在軸表面作圓周線和縱向線，在扭轉(zhuǎn)力偶矩作用下，圓周線長度形狀不變，各圓周線間距離不變，只是繞軸線轉(zhuǎn)了一個微小角度；縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個微小角度。變形如圖所示。
圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，形狀和大小不變，半徑仍保持直線，且相鄰兩截面間的距離不變。
這里需要注意，一定要在線彈性范圍內(nèi)。接下來研究用到了切變模量、切應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律等知識。
1、變形協(xié)調(diào)方程推導(dǎo)應(yīng)變、應(yīng)力分布規(guī)律
設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)ρ 處的剪應(yīng)變?yōu)?em style="max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word;">γ(ρ)，則有如下幾何關(guān)系：
式中，dφ/dx 為扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。
距圓心為ρ 任一點處的γρ、τρ 與到圓心的距離ρ 成正比。
2、物性關(guān)系——剪力胡克定律
至此，我們已經(jīng)求出了切應(yīng)力的表達(dá)式，但是扭轉(zhuǎn)角沿長度方向的變化率還不知道。這就需要靜力學(xué)方程來解決了。
微分面積： dA 上的微內(nèi)力對圓心的力矩： 對上式進(jìn)行積分（扭矩定義）： 橫截面上的扭矩應(yīng)與截面一側(cè)的外力偶距相平衡 我們引入一個極慣性矩 式中，Ip 為橫截面對形心的極慣性矩（截面二次極矩，單位為m4）。 在圓截面邊緣上有最大切應(yīng)力： 令 抗扭截面系數(shù)（單位：m3） 公式適用條件： 圓桿； τmax≤τp。 其中極慣性矩和抗扭截面系數(shù)，在實心軸與非實心軸中的計算是不一樣的。 在實心軸的情況下： 其中，D 為圓截面直徑。 以上就是完整的求圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力的方法和過程了！
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