在彈性力學的問題里，通常是已知物體的形狀和大小（即已知物體的邊界）、物體的彈性常數、物體所受的體力、物體邊界上所受的約束情況或面力，而應力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量。
如何由這些已知量求出未知量，彈性力學的研究方法是：在彈性體區域內部，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。即根據微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據微分線段上形變與位移之間的幾何關系，建立幾何方程；根據應力與形變之間的物理關系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件。即在給定面力的邊界上，根據邊界上的微分體的平衡條件，建立應力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據邊界上的約束與位移的關系，建立位移邊界條件。求解彈性力學問題，即在邊界條件下從平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應力分量、形變分量和位移分量。
對任何學科進行研究時，總不可能將所有的影響因素都考慮在內，否則該問題將會變成非常復雜而無法求解。因此，在任何學科中總是首先對各種影響因素進行分析，既必須考慮那些主要的影響因素，又必須略去那些影響很小的因素。然后抽象地概括出這些主要因素，建立一個所謂的“物理模型”，并對該模型進行研究。當然，研究的結果將可以用于任何符合該物理模型的實際物體。在彈性力學問題中，通過對主要影響因素的分析，歸結為以下的幾個彈性力學基本假定。首先，是對物體的材料性質作如下的四個基本假定：
01
連續性
假定物體是連續的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙，這樣物體內的一些物理量，例如應力、形變、位移等才可能是連續的，因而才可能用坐標的連續函數來表示它們的變化規律。實際上一切物體都是由微粒組成的，嚴格來說都不符合上述假定。但是可以想見，只要微粒的尺寸以及相鄰微粒之間的距離都比物體的尺寸小很多，那么關于物體連續性的假定就不會引起顯著的誤差。
02
完全彈性
假定物體是完全彈性的。所謂完全彈性，指的是“物體在引起形變的外力被除去以后，能完全恢復原形而沒有任何剩余形變”。這樣的物體在任一瞬時的形變就完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關。由材料力學已知：塑性材料的物體，在應力未達到屈服極限以前，是近似的完全彈性體；脆性材料的物體，在應力未超過比例極限以前，也是近似的完全彈性體。在一般的彈性力學中，完全彈性的這一假定，還包含形變與引起形變的應力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關系的。因此，這種線性的完全彈性體中應力和形變之間服從胡克定律，其彈性常數不隨應力或形變的大小而變。
03
均勻性
假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的。這樣整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性才不隨位置坐標而變。如果物體是由兩種或兩種以上的材料組成的，例如混凝土，那么也只要每一種材料的顆粒遠遠小于物體而且在物體內均勻分布，這個物體就可以當作是均勻的。
04
各向同性
假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同。這樣物體的彈性常數才不隨方向而變。顯然，由木材和竹材做成的構件都不能當做各向同性體。至于由鋼材做成的構件，雖然它含有各向異性的晶體，但由于晶體很微小，而且是隨機排列的，所以鋼材構件的彈性（包含無數多微小晶體隨機排列時的統觀彈性），大致是各向相同的。
凡是符合以上四個假定的物體，就稱為理想彈性體。此外，還對物體的變形狀態作如下的小變形假定：
05
位移和形變是微小的
這就是說，假定物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應變和轉角都遠小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便地用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差；并且在考察物體的形變與位移的關系時，轉角和應變的二次和高次冪或乘積相對于其本身都可以忽略不計。例如：對于微小的轉角α，有cosα=1-1/2α2+···≈1，sinα=α-1/3!α3+···≈α，tanα=α+1/3α3+···≈α；對于微小的正應變εx，有1/1+ε=1-εx+ε2x-ε3x+···≈1-εx，等等。這些彈性力學里的幾何方程都簡化為線性方程。
在上述的這些假定下，彈性力學問題都化為線性問題，從而可以疊加原理。
來源：簡書用戶海中沙與林丸子分享
