合金鋼管下料問題，合金鋼管最優切割方案

[ 關鍵詞：下料 切割方案 　發表日期：2022-08-27 09:08:37 ]

一、問題的敘述

　　某合金鋼管零售商從鋼管廠進貨，將合金鋼管按照顧客的要求切割出售。從鋼管廠進貨得到的原材料的鋼管的長度都是1850mm ，現在一顧客需要15 根290 mm，28 根315 mm，21 根350 mm 和30 根455 mm 的鋼管。為了簡化生產過程，規定所使用的切割模式的種類不能超過4 種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10 增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的 2/10 增加費用，以此類推，且每種切割模式下的切割次數不能太多（一根原鋼管最多生產5 根產品），此外為了減少余料浪費，每種切割模式下的余料浪費不 能超過100 mm，為了使總費用最小，應該如何下料？

二、方案

　　本文以合金鋼管下料為背景，在盡量減少余料浪費，簡化生產過程等約束條件下，應如何選取最優切割方案使總費用最小的問題進行了簡要的分析。首先通過提取問題中的有用信息，即所使用的切割模式的種類不能超過4 種，且每種切割模式下的切割次數不能太多（一根原鋼管最多生產5根產品）等，可以列出一系列約束條件。由于切割模式使用頻率可以有兩種或兩種以上相同，為了簡便起見，對問題進行了一些簡化假設，然后在這些假設下建立了數學規劃模型，對問題進行了初步解答。

　　得出最優切割方案為：

　　共需要19 根鋼管，其中 14 根原料鋼管分別切割90mm、315mm、350mm、455mm 鋼管為1 根，2 根，0 根， 2 根；4 根原料鋼管切割為0 根，0 根，5 根，0 根；1 根原料鋼管切割為2 根，0 根，1 根，2 根；最后對本文所建立的模型又進行了較為全面的分析和評價，并指出了一些改進的方向。

三、問題重述

　　通過閱讀問題題目可知，該問題主要目的是要從一批長度為1850mm 的原料鋼管中切割出15 根290mm，28 根315mm，21 根350mm 和30 根455mm 三種特定長 數學建模論文 2 度的成品鋼管。合理的切割模式確定后，需要得出使切割總費用最小的切割方案。問題中的原料和成品長度都有限定，切割費用也與切割模式的使用頻率有關。其中約束條件主要有：

（1）原料鋼管長度的約束，在不同切割模式下，成品的總長度不能大于1850mm；
（2）切割產生的成品根數的約束，每根根鋼管最多生產5 根成品鋼管；
（3）切割后余料長度的約束，每根鋼管在每種切割模式下的余料不能超過 100mm；
（4）切割模式種類的約束，最終使用的切割模式不能超過4 種；
（5）費用的計算方式是與切割模式的使用頻率有關的。

四、模型假設

1、切割過程中不會產生報廢的情況；
2、切割過程中不會發生長度的損失；
3、客戶的需求不發生變化；
4、切割費用只與切割模式的使用頻率有關，與其他因素無關；
5、假設不同的切割模式所使用的頻率不相同

五、符號說明

符號 代表的意義 L 原料鋼管的總長度，即 mm L 1850 �� �� 表示第j 種成品鋼管的需求根數（ 4 , 3 , 2 , 1 �� i ） 表示第j 種成品鋼管的長度 表示在第i 種切割模式下切割的原料鋼管的根數（i=1、2、3、4） 表示在第i 種切割模式下一根原料鋼管切割出的第j 種成品鋼管根數 用作下標，代表切割模式， 用作下標，表示成品類型， 表示一根原料鋼管的價值 表示不同使用頻率的切割模式下所需的費用 P 切割總費用

六、問題分析與模型的建立

1、問題分析

　　本題屬于一維整數數學規劃類問題，解決的基本思路為：由一系列約束條件 確定不超過4 個合理的切割模式組成最優切割方案，使總費用最少。但是又考慮到切割費用與切割模式的使用頻率有關，而不同切割模式的使用頻率可以相同。所以目標函數是不確定的，即需要建立多種不同的模型，然后利 用lingo 軟件求出每種模型下的最優解。最后通過將各個模型進行對比，得出最有切割方案。

2、模型的建立

　　由于切割模式不多于4 種，且每種切割模式下的切割次數不能太多（一根原鋼管最多生產5 根產品），可以列出下列2 個約束條件：

　　（1）每根原料切割最多根數約束
　　（2）原料總長度約束

　　由原料長度，余料限制等條件可得以下幾個約束條件

　　（1）余料最大長度約束
　　（2）客戶需求數量約束

　　綜合上述約束條件，可以得到以下數學模型： 即目標函數： 利用lingo 軟件計算模型一（源程序和運行結果見附錄）結果如下表： 切割模式 鋼管數 290 315 350 455 余料 1 14 1 2 0 2 20 2 4 0 0 5 0 100 3 1 2 0 1 2 10 4 0 1 0 3 1 55 最優解 21.5 由表可知：最優方案為選取19 根鋼管，其中14 根原料鋼管分別切割90mm、 315mm、350mm、455mm 鋼管為1 根，2 根，0 根，2 根；4 根原料鋼管切割為 0 根，0 根，5 根，0 根；1 根原料鋼管切割為2 根，0 根，1 根，2 根。

七、模型的分析與改進

1、模型優點

（1）建模思路清晰，模型的建立方案比較簡單，易于讀懂；
（2）模型結構分明；

2、模型缺點

（1）沒有對模型進行進一步的優化和更深層次的推廣；
（2）各模型的源程序近乎相同，過程顯得有些繁瑣。
（3）模型在處理切割問題時，為了簡化起見沒有考慮到多種切割模式使用頻率可能相同的情況。
（4）由于再假設中對問題進行了簡化，因此該模型不便于推廣。

3、模型的改進方向

（1）處理切割問題時，考慮多種切割模式使用頻率可能相同的情況。并通過改變目標函數表達式，或者利用其他程序（如C 語言程序）來解決，其中通過改變目標函數表達式的方法比較容易實現，并且各種不同情況下的源程序基本相同，只是過程稍顯繁瑣。

八、模型的評價

　　該模型盡管有很多不足之處，但是其基本思想是正確的，因此對于解決其他的一維數學規劃類問題還是具有一定的參考價值的。